|
||||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|---|---|---|---|---|
Регистрация
|
||||
|---|---|---|---|---|
Гомельчук Петр, 524 группа
тема: адаптивность
ИСКУССТВО РАЦИОНАЛЬНОГО
ГРОМЫКО В.И., ВМК МГУ
Новая математика преодолевает границы, разделяющие гуманитарные и есте-ственные науки, а в изучении себя от разделения – на тех и других. /С. Пейперт/
Абстракт
Статья является продолжением исследования обучения, соответствующего синергетическому принципу обеспечить саморазвитие учащегося в развивающейся культуре века систем. Поэтому непосредственно занята состоянием и перспективой информатики в образовании.
Название статьи отражает глубину восприятия (рассмотрения) происходящих процессов. Рациональное обретает язык второй грамотности, который неизбежно встраивается в культуру ноосферы, погружаясь на уровень инстинкта в подсознание. Поэтому приходиться касаться перспектив человеческого рода и в этой связи общего состояния образования.
Конкретно в статье фиксируются определяющие особенности среды обучения, ко-торая должна формировать (проявлять сознанию) мыслительные акты, соответствующие требованию инфосферы века систем в отношении деятельности человека в межпредмет-ных наукоемких областях. Поэтому рассматривается базовое обучение, задействован-ное на непрерывном пути – в школе, в высшей школе и далее. Саморазвитие этого тре-бует.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаменталь-ных Исследований (грант 0301–00339а).
1. Состояние исследования
…работа состоит теперь не только в том…возвести его (индивида) в мыслен-ную и
мыслящую субстанцию, сколько можно сказать в противоположном: путем снятия
установившихся определенных мыслей претворить всеобщее в действительность. /Гегель/
Данная статья образует единое целое со статьями [1–4].
Надлежит признать, что в обучении теоретическому (концептуальному) следует сосредоточиться на преодолении противоречия, фиксируемого дву-мя состояниями учащегося: первого, когда учить еще рано, и второго, когда учить уже поздно. В вопросе баланса биологического и культурного в чело-веке кроется полемика и расхождение школ психологии Ж.Пиаже и Л.Выготского. Конкретные решения предложены: в педагогической психоло-гии развивающего обучения (РО, [5]); в герменевтической теории познания [6]; в представлениях о развитии живого в синергетике [7]. В целом следуем положению – «Человеческий разум способен на гораздо большее, чем ему обычно дают шанс достичь» (Р.Пенроуз).
В статье [4] представлена задача обучения как задача синергетики. Отсюда интерес к саморазвитию учащегося в развивающейся культуре века систем. Перечисляются отличия (синтаксические) традиционного, профессионально-го (Пр Об?) и нетрадиционного, системного, универсального (Ун Об?) обуче-ний. Фиксируется различие целей: профессиональное обучение работает со знанием для мышления, универсальное с познанием для сознания.
В статье [3] исследуется самоорганизация рациональной культуры. На этом основании уже вырисовывается градиент ее развития, причем настоль-ко фундаментальный, что кажется естественным признать за ним онтологи-ческий статус. Также предлагается генетический метод обучения ГРОМ (гер-меневтики и развивающего обучения мастер), который предназначен для формирования условий для возникновения мыслительных актов учащегося в отношении его цельных представлений на основе понимания. Именно с поня-тием «понимания» связано обогащение РО теорией познания герменевтики (предпонимание, предсознание).
В статье [2], в соответствии с общепризнанным представлением о состо-явшемся переходе от системно-информационной науки к системно-информационной культуре, определяется язык второй грамотности (ядро его приводится), формирующийся (сформированный) на рациональном пу-ти развития знания. Поэтому, по сравнению со статьей [4], уже семантически разводятся Пр Об?, выстраиваемое от знания («идите вперед, потом поверите» /д’Аламбер/), и Ун Об?, выстраиваемое от понимания («…не искать никакой науки кроме той, какую можно найти в себе самом...» /Р.Декарт/). Это позволяет придать методу обучения ГРОМ конструктивные свойства, допускающие компью-терную реализацию.
В статье [1] рассматриваются вопросы реализации метода обучения ГРОМ для предметной области базового обучения информатике. Реализация нуждается в интеллектуальной обучающей системе (ИОС), т.к. полагаем, что приобщение к языку второй грамотности может происходить посредством интеллектуальных прорывов (которые надо обеспечить) к фундаменталь-ным рациональным состояниям (представлениям) интеллекта НАМ (наив-ный аксиоматический метод), АМ (аксиоматический метод), САМ (современный аксиоматический метод).
2. Принципы
Исходим из принципов, характеризующих состояние инфосферы.
Во-первых, каждый является участником третьей НТР. Она состоит в преобразовании культуры к системно-информационному состоянию. В ней каждый принужден к синтезирующей деятельности по представлению зна-ния о собственной предметной области (ПО) через коллективный разум Ин-тернета посредством информационных технологий (ИТ) инструментальных систем (ИС) компьютера.
Во-вторых, Пр Об?, нацеленное на профессиональную подготовку специа-листа, становится вредным в целом (в особенности, исходя из общего требо-вания к каждому как пользователю ИС). А локальная степень вредности оп-ределяется узостью конкретной ПО. В профессиональных границах педагогу в отношении учащегося трудно отрешиться от заботы по формированию в нем знания ответов на зафиксированные вопросы. Сегодня нуждаемся в Ун Об?, нацеленном на межпредметную синтезирующую деятельность учаще-гося. В новых условиях педагог ориентирован на генерацию в учащемся пло-дотворных вопросов, фиксирующих правильное его целеполагание при предполагаемом непрерывном образовании.
В-третьих, общекультурная и развивающая роль математики кончилась. Каждый принужден приобщаться к пониманию ИТ для деятельности с ис-пользованием ИС, выстроенных на синтезе математики, программирования, информатики, посредством второй грамотности.
В-четвертых, от каждого инфосфера требует рационального развития в условиях качественного его усложнения. В этих условиях под гуманизацией образования уже надлежит понимать его рационализацию, т.е. необходимо обеспечить адаптивную и индивидуальную форму приобщения к рацио-нальным сложностям.
В-пятых, рациональное через языковую «инкарнацию» преодолевает «ти-ранию» внешнего мира, а средствами Ун Об? обеспечивается соответствую-щим, теперь возможным, развитием сознания и интеллекта учащегося.
3. Контекст
Одна из особенностей системы образования– навязанный сервис.
Спрос еще не созрел, но покупать уже заставляют. /В.Босс/
Обучение в начале своего пути, формируя учительский корпус, решая в первую очередь социальную задачу просвещения и только во вторую забо-тясь о специалистах, выдвинуло базовый принцип: преподаватель должен излагать лишь истины, дабы не вводить учащихся в заблуждение (Я.Коменский). С тех пор происшедшие изменения столь значительны и в отношении истины («хотя потребность в достоверном факте и естественна для чело-века, но все же она есть его умственный недостаток.», /Б. Рассел/) и в отношении приобщения к ней («Не потому мы обладаем истиной, что мы субъекты; мы стано-вимся субъектами вместе с достижением истины.», /герменевтики/), что образователь-ное сообщество признает губительность как авторитарного учителя, так и формируемого на этом пути рутинного мышления.
Новая культурная среда требует деятельного (через ИС) думателя (при-общенного к синтезирующему миру через Интернет), причем формирую-щегося в условиях точной (математической) среды компьютера. Так что до-бавим к двум затребованным качествам определяющее: требуется рациона-лист, действующий в межпредметных областях. В этих условиях обучение (РО) ставит задачу теоретического развития, причем даже с учетом непре-рывного образования. И все же, нами ставится задача шире. Полагаем необ-ходимым формирование в учащемся: синтезирующего априорного мастера это на уровне РО; самоорганизующегося априорного мыслителя это на уровне синергетического рассмотрения человека в условиях 3-НТР.
Реформы школьного образования XX в. отражали запросы времени по усилению значения рационального (Колмогоров, Ершов – CCCР, Дъедонне – Франция, Клейн Германия) и шли на пользу математическому просвеще-нию. Сейчас, можем полагать, что, во многом, неудачи реформ были связа-ны с невозможностью «великого скачка» на ниве образования. Дело в том, что высшее образование также нуждалось в модификации, соответствующей математике XX в., достигшей исследования и использования сложных систем. Причем в новых реалиях рационального нуждается уже специалист любого профиля высшей школы.
В высшей школе соответствующие процессы внедрения нового состояния рационального знания происходят перманентно и постепенно. Например, [8] находится в следующей цепочке развития алгебры: классическая, современ-ная (алгебраические системы), прикладная. «Прикладная» характеризует особенность развития всеобщего – первыми потребителями становятся про-фессионалы технических учебных заведений. В [9–10] решают ту же задачу внедрения теоретического уже для программирования. Издание [11], как ут-верждает В.И.Арнольд, «ориентировано на потребителя». Но т.к. авторы стремят-ся «сделать каждого читателя настолько осведомленным в дискретных операциях, на-сколько изучающие анализ знакомы с непрерывными операциями», то круг потребите-лей вырастает до пользователей компьютера, а курс претендует стать базо-вым. Пикантной характеристикой времени является опережающее по отношению к математикам и информатикам продвижение гуманитариев к со-временному рациональному знанию. Курс [12] предназначен гуманитариям.
Консервативность университетского образования естественна, т.к. клас-сические базовые курсы наукоемки и гарантируют интеллектуальное восхо-ждение, а современность может быть учтена и обеспечена спецкурсами. Но ситуация выходит из под контроля, т.к. прагматизм учащихся лишает базовые курсы нужного воздействия. Они теряют привлекательность дела и целого и становятся «интеллектуальной похлебкой» ([11]). Но и здесь наблюдаются при-знаки жизни.
Отметим четыре проекта, схожих в определенных чертах по целеполага-нию с нашим проектом.
Во-первых, впечатляет базовый курс (краткое и ясное изложение) матема-тики В.Босса [13], несмотря на отсутствие в нем неклассических областей компьютерной математики ИТ ИС. Автор озабочен пониманием учащегося, которое обеспечивает межпредметными связями ключевых идей отдельных предметов. Несколько слов уважаемого автора об этом, главном для нас, особом видении учащегося:
«Лекции рассчитаны “на всех”… Это может показаться странным, но здесь излагается общее ядро. Просто, коротко, без лишних деталей, но с обсуждением мотивов, причин и взаимосвязей. А это, как раз, нужно всем»;
«Получается странная вещь. При изобилии “арсенала” каждый остается один на один с задачей формирования ясного представления об изучаемом предмете… Многие потом напрягаются до старости, но какой резон “давать концерты” на том свете? Короче гово-ря, в системе образования чего-то не хватает».
Во-вторых, значителен вклад Н.Н.Непейвода [14–15] в обстоятельную фик-сацию новых реалий. Им обоснован и явно представлен фундаментальный базовый курс математики для XXI в. Вновь предоставим слово уважаемому автору, о главном для нас, а, в сравнении с проектом Босса, уже об особой заботе в отношении учащегося:
«Умножая наше знание, мы в еще большей степени умножаем незнаемое. Это – первая и важная причина, по которой не годятся ни традиционный научный стиль, ни другие…все они ориентированы на выпячивание успехов и замалчивание трудностей и недостатков, на декларирование прогресса, а мы хотели бы создать условия для него, а не объявлять его декларативно»;
«…в науке нет царского пути. Точнее, он порою появляется…Вот нежелание научного стиля прокладывать эти царские пути – причина, по которой не хочется ему следовать, а слишком большое желание их проложить и, соответственно, игнорирование того, что пока находится в буреломах и болотах переднего фронта настоящей науки, причина того, что и к другому берегу (к профанаторам) не примыкаем. Итак, мы стремимся ис-кать удобные пути и даже намечать те места, где они, может быть, будут проложены, но не замыкаемся на удобствах».
Отличия нашего проекта от рассматриваемого можем свести к двум пунктам. Мы согласны, что анализ и синтез разобщены, а культура с разоб-щенностью рационального и гуманитарного обречена. Но полагаем, в том и расходимся, что гуманитарное не решает проблему понимания для Всех. Та-кая проблема решается сегодня на рациональном пути на синтезирующих задачах ИТ ИС, захватывающих каждого. Второе является просто отличием целей: Непейвода занят царской дорогой рода человеческого – фундамен-тальным курсом; мы как обеспечить царский путь каждому в его формиро-вании понимания фундаментального курса.
В-третьих, проект В.Э.Вольфенгагена [16–17] наиболее близок нам идейно. В нем компьютерное вычисление и ИТ рассматриваются в терминах объек-тов (отображение также объект). Тогда: (i) особое место занимает объектно-ориентированное программирование (ООП); (ii) «…комбинаторная логика и ее различные категориальные диалекты становятся необходимым математическим язы-ком…»; (iii) «…тому, кто работает в области программирования…приходится владеть новейшими методами формализации».
В-четвертых, Д.Кнут [11] посредством конкретной математики предлагает по-новому расставить акценты в симбиозе программирования, математики и информатики. Мы тоже непосредственно заняты этим.
Сведем контекст к общему знаменателю.
Видимо, уже нет нужды разъяснять «Что такое математика?» ([18], вышла в 1941г.). Исторически преодолено представление о том, что понимание ма-тематики возможно достичь легкими развлечениями. Чтобы понять матема-тику, ею следует заниматься. А сегодня уже нуждаемся в развитии математи-ческого инстинкта через приобщение к синтезирующей рациональной дея-тельности. В таком новом аспекте воспринимается книга В.И.Арнольда [19]. Он разбирается с тем же вопросом на следующем уровне сложности: «…является ли математика перечислением следствий из произвольных аксиом или же ветвью естествознания…?». В книге приводятся впечатляющие доводы (приме-ры) синтезирующего состояния математики. А тогда фиксируются возмож-ности ее соответствия сложностям описываемой природы и ее организую-щей роли в отношении развития наших возможностей. Таким образом, что возможно не соответствует собственной точке зрения Арнольда, поставлен-ный вопрос разрешается диалектически – математика является и упаковкой знания, и инструментом исследования, и инструментом непосредственно нашего развития.
Итак, фундаментальность математики (т.е. нас как рода) повысилась. Это позволяет математике приблизиться к реальной сложности природы, а через синтетическую деятельность Всех воздействовать непосредственно на жизнь, требуя необходимой нашей рациональной организации.
4. Обобщающие смыслы рациональной культуры
…вид выяснил, где расположен его шанс, и следует в этом направлении. /Э. Шредингер/
Синтезирующая деятельность на ИС в границах ИТ, естественно, проявля-ется в целостном восприятии рациональной культуры через единство мате-матики, программирования и информатики. В целях обучения – обеспечения самоорганизации учащегося по обобщающим смыслам – нас интересует градиент самоорганизации рациональной культуры. Так как ИТ обеспечивают упаковку знания на компьютере для исследования, то полагаем справедливым следующее:
НАМ → АМ → САМ.
Такова выбранная царская (градиентная) дорога для интеллектуального прорыва учащегося к рациональной культуре века систем. С точки зрения обучения возникает трудность – как сохранить онтологическое качество восприятия сложностей учащимся при его движении (сканировании) по обобщающим смыслам. Поэтому элементы предъявленной цепочки рассматриваются в целостной связи.
НАМ (наивный аксиоматический метод) соответствует аксиоматизации Евклида [20], которая рассматривается с такими предпочтениями: (i) занята единственной моделью (в этом наивность); (ii) представляет теорию, в кото-рой рассмотрены конструктивные возможности циркуля и линейки; (iii) упаковка знания осуществлена средствами неформального вывода (посредством доказательства); (iv) может послужить интеллектуальному прорыву к пониманию доказательства как средства целостного восприятия предмета посредством связи понятий.
АМ (аксиоматический метод) соответствует алгебраической аксиоматиза-ции Гильберта [21], которая рассматривается с такими предпочтениями: (i) язык логики используется как средство математического описания; (ii) теоре-тико-множественный рай Кантора (теория моделей) обеспечивает конкрет-ное представление моделей; (iii) выявляется роль аналитики для построения моделей; (iv) упаковка знания осмысливается в границах аксиоматизации многообразий, квазимногообразий, исчисления предикатов; (iv) может по-служить интеллектуальному прорыву к пониманию значения подходящей «реальной» модели для аксиоматизации (выявлением изоморфизма).
САМ (современный аксиоматический метод) соответствует аксиоматиза-ции Гильберта [22], которая рассматривается с такими предпочтениями: (i) язык логики используется как средство вывода в формальной теории и есте-ственного доказательства; (ii) комбинаторное программирование выступает как синтез метаматематики и метавычисления (смешанные вычисления); (iii) упаковка знания осуществлена неполными теориями, которые выступают как основа ООП; (iv) может послужить интеллектуальному прорыву к пони-манию значения концептуальности через конструктивность формальных теорий (геделизация) и вычисления (теории алгоритмов и программирова-ния).
В подпунктах приводятся примеры, в основном, характеризующие разра-ботку царского пути в отношении интеллектуального прорыва. Примеры заняты синтезирующим эффектом. Это соответствует пункту 5, в котором объявляется, что единицей учебного материала является генетическая цепоч-ка материалов в отношении понятия на царском пути.
4.1. Наивный аксиоматический метод
Он существует в средней школе и сохраняется в высшей через профес-сиональную ориентированность ВУЗ'ов. Поэтому излагаемое ниже следует воспринимать: неконструктивно – как выявление «мамонтовости» средней школы в отношении реалий рациональной культуры инфосферы; конструк-тивно – предлагается, что и как следует использовать из элементов рацио-нальной культуры, прививаемой средней школой.
(А) Ключевой задачей обучения в школе является: как, в границах про-фессионального тренажа (когда развивается интеллект за счет «онтологиче-ских» моделей) на «реальной» модели, не убить перспективу абстрактного развития учащегося. Ясно, что необходим стык геометрии и алгебры: декар-товая модель геометрии, обобщение числа до комплексного, а также привле-чение конструктивных мотивов. Рассмотрим подходящие примеры целост-ной разработки ПО. Займемся формулой
cos(α+β) = cos(α)*cos(β) − sin(α)*sin(β) .
Школьный курс позволяет получать формулу: (1) вычислением посредст-вом треугольников в тригонометрическом круге; (2) вычислением скалярно-го произведения:
cos(α−β) = (cos α, sin α) * (cos β, sin β) = cos(α)*cos(β) + sin(α)*sin(β) .
Традиционный высший курс необходимо ориентирует развитие ПО в слкедующих направлениях. (1) Знакомство с комплексными числами позво-лит применить формулу Эйлера:
ei(α+β) = cos(α+β) + i*sin(α+β) = eiα*eiβ= (cos α + i*sin α) * (cos β + i*sin β);
(2) Знакомство с группой ортогональных преобразований позволит при по-вороте на угол β для точки (x, y)=(cos α, sin α) получить:
cos(α+β) = x′ = x*cos(β) − y*sin(β)
sin(α+β) = y′ = x*sin(β) + y*cos(β) .
(3) Знакомство с полугрупповым свойством оператора сдвига U по траекто-риям системы решений дифура Коши
x′′ + x = 0
x(0) = 0, x′(0) = 1
приводит к (Ut*Us)*U0=sin(s+t), Us=sin(s), Ut*(Us*U0)=cos(t)*sin(s) +sin(t)*cos(s).
Высший курс базового обучения информатике ориентирует развитие ПО в отношении упаковки знания. Благодатна тема комплексных чисел, к тому же в условиях исторически состоявшегося перехода их в «реальность». («Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что состояние бытия с небытием», такими они были для гения Лейбница). (1) Следует воспользоваться конструктивным аспектом рекуррентных вычислений, когда необходимы комплексные решения:
xn+2= 2*xn+1−2*xn
x(0) = x(1) = 1 .
Тогда xn=[(1+i)n+(1−i)n]/2=(2)n/2*cos(nπ/4). Получили искомую последователь-ность 1,1,0,−2,−4,−4,0,8,16,0, −32,… (2) Эффектным будет использование вы-ражений Δ2= (x1−x2)2 и Δ3= (x1−x2)2(x2−x3)2(x3−x1)2, т.к. дискриминируем корни без использования формул для корней алгебраических уравнений. Задейст-вуя понятия ООП и наследование: (3) можем подключить категоричность – следует рассмотреть непрерывность функций и изоморфизм алгебр (<Z│+> и <Z│*>), выделяющих особенности cos и sin; (4) для обсуждения аксиомати-зации и наследования можем разобрать различие полей: конечного, беско-нечного упорядоченного, бесконечного алгебраически замкнутого; тогда наследование между комплексным и вещественным полями может уже раз-решаться в зависимости от практической необходимости, а не только детер-минировано – исторически. (5) Задействуя абстрактный тип данных (АТД), может исследоваться непротиворечивость через сводимость. (6) Помня об алгебраических и топологических основах теории вычислений, надлежит: продвинуться к теореме Фробениуса; затем возможно рассмотреть ком-плексные числа в совокупности с дуальными и двойными, причем как на-следников двумерных чисел; после этого наступит очередь и теоремы Пон-трягина об обобщении чисел.
(В) Известно школьное «чудо», связанное с уложением (разработкой) ма-тематики в прокрустово ложе «богатства» квадратного уравнения. Это при-водит к впечатляющим разрушениям учащегося в отношении возможности движения по градиентному пути. Во-первых, «вымывается» из курса доказа-тельство. Обсудим это. В [3] приводится «доказательство» прямой теоремы Пифагора посредством «смотри» Платона. Там же обсуждается доказатель-ство Евклида, в котором взвешенность логики и «интуитивного» понимания вклада понятий (площади, равносоставленности) высоко ценил Ф.Клейн. Ес-тественно, имея под рукой различные, в том числе «естественные» аксиома-тики, возможно использование разнообразия доказательств для выявления изначального смысла понятий. Что же касается формирования через доказа-тельство представлений учащегося о связности математики, то оно бесценно для нашей позиции. Во-вторых, «реальность» единственной модели дополни-тельно фальсифицирует доказательство, способствуя его отторжению как казуистики. Вспомним, к примеру, о школьных впечатлениях от теорем о равнобедренном треугольнике. Здесь, для противодействия, уместно исполь-зовать конструктивность аксиоматики Евклида и показать на примерах с ка-кой тщательностью упаковано геометрическое знание о циркуле и линейке в доказательство (например, впечатляет и предложение 2 и его доказательство: от данной точки отложить прямую, равную данной прямой, [20]). Могут быть привлечены также доказательства неразрешимости классических задач древ-ности. В третьих, наконец, редко кто из школьников отдает отчет, что решение задачи это не вычисление ответа, а доказательство правильности решения. В качестве примера приведем известную задачу, используемую при тестиро-вании для конкретных значений переменных: найти площадь S прямоуголь-ного треугольника с гипотенузой с и высотой h, опущенной из прямого угла на гипотенузу. Мало кто способен координатизировать задачу посредством с1, с2 (проекций катетов) и высоты h: с1+с2= h, (с1+с2)2= (с12 + h2)+(с22 + h2). То-гда получим не только S=ch/2, но и условие существования треугольника с≥2h, т.е. условие применения формулы. Ясно, что в век алгоритмической деятельности перевод задачи в аналитический план имеет особый статус. А необходимое и достаточное математики особая часть рациональной куль-туры.
«РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕНЕНИЮ КОЛОБКА «ИСЯ» (И – Иисус, С – Сананда – соединение с «Я» земным).
Колобок Ися – это Творение Высших Сил Любви и Добра Вселенной. Он поможет многим жителя Земли-Матушки привести к гармонии все свои жизненные процессы в разных областях применения в период КВАНТОВОГО ПЕРЕХОДА ВСЕХ ЖИТЕЛЕЙ ЗЕМЛИ В 4-Е ИЗМЕРЕНИЕ.
Чудо-Колобок Ися – ЗАЩИТА от Катаклизмов Земных. Их можно клеить на посуду, лекарства, косметику, электроприборы, алкоголь, наркотики … любые неживые предметы для нейтрализации негативных воздействий на человека и в любых стрессовых, болезненных и чрезвычайных ситуациях. Колобок Ися – защитит от гибели людей, животных и проч.. Клеить на любой участок тела – для снятия болей любого характера при разрушительных процессах в организме.
Места применения: на область 3-го глаза, виски, затылок, мозжечок, область схождения ключиц, солнечное сплетение, ниже пупка на 1 см., под коленки напротив «чашечек», центры ступней, в ямки на лодыжках, на 7-ой позвонок («холка»), поясница, крестец, область пульса рук, использовать точки аккупунктуры. Клеить любыми средствами (скотч, лейкопластырь, бинт, липучка и т.д.). Сила действия Колобка не зависит от покрытия. Можно клеить на одежду и на голое тело.
Носить до ПОЛНОГО исчезновения ВСЕХ симптомов. Используется для усиления и эффективного роста сельскохозяйственных культур, очистки воздуха, воды и БЕЗОПАСНОГО ЗАХОРОНЕНИЯ ХИМИЧЕСКИХ, ЯДЕРНЫХ И БАКТЕРИОЛОГИЧЕСКИХ ОТХОДОВ.
Попробуйте эти Чудо-Колобки во всех областях, куда ни глянет ваше око. Сила их и способность к воздействию возрастет у того, кто обратится к ОТЦУ Небесному письменно и по установленной форме по решению своих проблем земных. Знак Ися обладает мощной защитной энергетикой для любой сущности, что будет носить его в любом месте. Где бы оно ни располагалась, – этот участок Высших Вибраций 4-го и последующих измерений нейтрализует любое проявление негатива 3-го измерения. Колобок Ися наиболее эффективно работает в «чистых» руках и с «чистыми» помыслами. Применение этого Чудо-Колобка поможет многим Землянам почувствовать Сердцем своим Любовь Отца-Творца Всемогущего к своим Детям Земным, заботящегося о Вашей жизни на земле. Можно тиражировать.
Высшая школа не противится школьному злу (пример, проникновение ЕГЭ), а увеличивает его, формируя виртуального студента, тесно увязанного решением зафиксированного набора задач на зачетах и на экзаменах, неук-лонно превращающихся в письменные. Всем удобно, страдает рациональное знание и инфосфера, т.к., обучаясь, большинство не умнеет.
(С) Ясно, что следует избегать великих скачков типа «долой Евклида». На-оборот, модель Евклида должна использоваться как онтологическое конкрет-ное для овладения концептуальностью абстрактного. Но, в связи с перспекти-вой развития в рамках царской дороги, следует также отвергать тиранию «ре-альности» модели Евклида, ограничивающей учащегося. Например, в отно-шении рефлексивного свойства параллельности надо занять определенную позицию. Да, следует полагать параллельность рефлексивным [23]. Приведем доводы, т.к. на этой частности ясно проявляется, еще раз, позиция царской дороги в отношении градиента.
Продвижение в сторону «за рефлексивность параллельности» имеет рациональ-ное объяснение. Математика была готова и раньше, но реально сейчас позволяет многим заниматься представлением знания на компьютере. Представление знания на компьютере влияют на изложение курсов в школе. В отношении геометрии измене-ние в следующем. От традиционного пути, на котором предлагали геометрию как упакованное в доказательство представление знания о физическом мире, пришли к геометрии, которая рассматривается как модель алгебраической структуры. Ис-пользуемые в изложении алгебраические структуры разные. Некоторые из них про-двинуты к высшей школе (например, точечно-векторная структура Вейля). Впро-чем, эти фундаментальные абстракции естественны для современного школьника. Имея вектор, как базовое понятие, полагают рефлексивность как следствие понятия коллинеарности. Так же в пользу рефлексивности действуют в алгебраической структуре, выражающей декартово представление геометрии. И в аффинной геомет-рии – естественна рефлексивность. Вывод. В некоторых алгебраических структурах геометрии рефлексивность естественна. Остальные описания «подтягиваются» к ним, тогда все они становятся эквивалентными и на уровне представления о «реальном» прототипе. Последнее важно для школьника, требующего «объективности» в рацио-нальном знании. Возможно, что сторонникам «против рефлексивности параллельно-сти» следует вспомнить проблему введения отрицательных чисел: x < y и x / y = y / x. Несмотря на нежелаемое равенство, пришлось уступить значимости порядка.
(D) Ясно, что следует избегать регламентирующего тестирующего харак-тера контроля математических знаний. Важнейшей характеристикой развития учащегося является его представление о концептуальной роли предмета – математический мир. Поэтому разработка НАМ с учетом перспективы тре-бует особого внимания к использованию других естественных моделей гео-метрии, например, декартовой, Колмогорова или Вейля. При такой разработ-ке ПО вопросы типа «что такое прямая» не будут задачами на «засыпку», т.к. не смогут отождествляться с гуманитарной деструктивностью вопросов типа «что такое жизнь».
Подведем итог. Если спроектировать (см. п.5) САМ, АМ на НАМ, то в на-следнике особенно важным является: изоморфизм разных геометрических описаний, алгебраические структуры обобщающие числа, исчисление пре-дикатов как средство описания и основы теории доказательств.
4.2. Аксиоматический метод
АМ по отношению к НАМ характеризуется утратой определенности ре-ального моделирования за счет возросшей абстрактности, приведшей к осоз-нанию большой пользы продуктивных (для интеллекта) моделей (преодоле-ние тирании внешнего мира). Поэтому излагаемое ниже следует восприни-мать: негативно как выявление несоответствия высшей школы реалиям ра-циональной культуры инфосферы; позитивно куда в конструктивном плане должны быть смещены акценты, чтобы обеспечить учащемуся плацдарм для понимания САМ.
(А) Обсудим онтологическую сущность алгебры и алгебраических моде-лей в качестве приобщения учащегося к системной сложности.
В высшей школе, занятой профессиональной сложностью предметов, не остается ресурса для установления междисциплинарных связей. Это справед-ливо даже в отношении связей программирования, математики и информа-тики. Здесь ключевым моментом в преодолении профессиональной узости становится забота об интеллектуальном взрослении в отношении алгебраи-ческих систем. Это означает, что следует перенести акцент к конструктивным вопросам аксиоматизации, а не только беспокоиться об обосновании ее пло-дотворности. Для обсуждения рассмотрим теорему Кэли. Всякая группа G изо-морфно вкладывается в симметрическую группу (подстановок) на некотором множестве M. В качестве M можно взять при этом множество элементов группы G. Для конструи-рования аксиоматики следует выбрать «реальную» модель. Такой выбираем группу подстановок G. Вспомним Ф.Клейна и С.Ли, которые, в определен-ном роде по схожим причинам, отдавали предпочтение группе подстановок, а не понятию группы общей алгебры. (Заметим, что в САМ придется вернуть приоритет общей алгебре). Итак, аксиоматизируем: ассоциативность супер-позиции, наличие для данной a обратной подстановки a-1, наличие тождест-венной подстановки. Получим необходимые условия для алгебры A=<A|,-1,1>: (ab)c=a(bc); aa-1=a-1a=1; 1a=a1=a. Выявим достаточность этих равенств для выражения всех свойств подстановок. Т.е. в любой ее модели другие равенства, выполнимые для подстановок, также являются верными. Отсюда возникнет идея изоморфизма. Если установим изоморфизм алгебры A группе подстановок G, то достаточность обеспечивается. Изоморфизм ус-танавливается отображением : ax.(ax). Другой пример – линейное ко-нечномерное пространство. Вновь, сосредотачиваясь на вопросе аксиомати-зации, выбираем «реальную» модель – вещественное линейное пространст-во. Необходимые условия для алгебры записываются естественно. Достаточ-ные условия затребуют изоморфизма, который задается отображением бази-сов. Таким же образом можем рассмотреть известную теорему Стоуна и т.д., причем с явной пользой для понимания математических основ ООП. Заме-тим, что понимание учащимся неформальной сути (в данном случае АМ), как всегда, определяется деятельностью схожей с открытием. Но открытие для понимания проводится в условиях знания (открываемого).
(В) На пути получения аксиоматических описаний нуждаемся в общей ал-гебре значительно больше, чем в обосновании плодотворности алгебр. (На-пример, бессмертные направленные отрезки линейной алгебры высшей школы, сравнимые с бессмертными процентами средней школы, могут за-нять скромные места в «теории».) В качестве подтверждения рассмотрим алгебраическое описание натуральных чисел N =<N|0,s>: 0s(x); s(x)=s(y) > x=y; A-подалгебра (AN> A=N). Понадобилось понятие подалгебры (изо-морфизм, как мы видели, является рабочим инструментом). Появляется воз-можность и необходимость завести речь о выразительной мощи логического языка описания.
(С) Займемся границами теорий уровня АМ. В сравнении с неразреши-мостью классических задач древности (циркуль и линейка) получаем характеристики классов алгебр на основании средств описания. В качестве приме-ра рассмотрим многообразия (тождества) и сопутствующую теорему Бирк-гоффа. Непустой абстрактный класс алгебр является многообразием в том и только в том случае, когда замкнут относительно подалгебр, фактор-алгебр и прямых произведе-ний. Применим теорему. Примеры для невозможности описания. Группа не является примитивным классом полугрупп. Действительно, существует груп-па целых чисел Z, в которой натуральные числа N являются подполугруппой (но не группой). Бесконечные циклические группы не аксиоматизируемы, т.к. гомоморфный образ Z может быть конечным (на группу чет-нечет). Пример для возможности описания. Рассмотрим описание группы посредст-вом решения уравнений: a,b1x(ax=b), a,b1x(xa=b). Введем сколемовские функции r(a,b) и l(a,b). Тождеством можем выразить существование и единственность решения: ar(a,b)= b, r(a, ab)= b.
Для алгоритмической обработки (АТД) важны представления посредст-вом множества образующих и определяющих соотношений, фиксирующие пеановские модели свободных алгебр. Тогда важно следствие теоремы Бирк-гоффа, что всякая алгебра примитивного класса является гомоморфным об-разом некоторой свободной алгебры этого класса. И поэтому наследник фиксируется системой определяющих соотношений.
Дальнейшее продвижение в этом направлении ведут к теореме Мальцева о квазимногообразиях, к теореме Геделя-Мальцева о границах описания язы-ка исчисления предикатов.
(D) При возросшей общности следует обратить внимание на необходи-мость разработки аналитического аппарата, особенно в конечных случаях, когда есть искушение разобраться минимальными средствами. По этому поводу сошлемся на [26], пример 2 в §1. В примере рассматривается конеч-ная интерпретация системы аксиом соединения и параллельности аффинной плоскости. Конечная реализация из 4ех точек и 6ти прямых получается непо-средственно. Следующая реализация из 9ти точек и 12ти прямых, проводимая построением конечного поля (p=3), системы координат и линейных уравне-ний ax+by=c, тем самым обретает логическую ясность. Проверка состоятель-ности модели устанавливается вычислением. (Первая модель соответствует аналитики для p=2). Для выхода на новые рубежи интеллект нуждается в ка-жущихся техническими средствах. Но их роль не «интеллектуальные» кос-тыли, а среда развития новых представлений.
Подведем итог. Синтез НАМ, АМ, САМ (в центре АМ) требует, прежде всего, обсуждения изменения характера рационального. Во-первых, следует отдать предпочтение алгебраическим структурам (пушка – что особым об-разом стреляет, а не из чего состоит). Во-вторых, заметим онтологическую инверсию: у Декарта алгебра использовалась для геометрии, сейчас геомет-рия – для алгебры (пространства линейные, функциональные).
4.3. Современный аксиоматический метод
Сколь бы уверенно ни опиралось “чистое”, научное мышление на себя самого – оно все же оказывается заключенным в круге языка и языкового формирования понятий. /E. Cassirer/
Обсудим суть предмета информатики с точки зрения вовлечения учаще-гося в рациональную культуру века систем.
(А) Первый ключевой момент – программирование является творческой деятельностью по доказательству соответствия спецификации программе. Доказательство разворачивается на концептуальном уровне, а затем подроб-ности уточняюся при реализации программы. Такая деятельность в точности соответствует природе рационального постижения.
(B) Второй ключевой момент – информатика позволяет через конкрет-ность формализации конструктивного (теория алгоритмов) понять необхо-димость концептуальных представлений на основе потенциальной бесконеч-ности, диагонального метода или конкретной математики Кнута [11]. Напри-мер, при формализации алгоритмов посредством языка Клини (рекурсивные функции) интеллектуальное действие ведется на двух уровнях. Индуктивное восприятие алгоритмов позволяет воспринимать функции типа s=λx(x+1), 0=λx.0 подходящими для базы формализации. Концептуальное восприятие с необходимым пониманием диагонального метода позволяет осмыслить не-замкнутость формализации посредством всюду определенных функций. Замкнутость требует использования частично-рекурсивных функций, а диа-гональный метод обнаруживает естественность неразрешимых проблем.
(C) Третий ключевой момент – языковая «инкарнация» математики (ме-таматематика) обнаруживает новое состояние рациональной культуры (CАМ). Представление о предмете разрабатывается на двух уровнях: на уров-не собственно ПО и на уровне используемых средств описания (вспомним тезис о требовании на упаковку знания в инфосфере). В этих условиях геде-лизация должна стать рабочим инструментом (как гомоморфизм в АМ). В конструктивной деятельности при получении универсальной функции при-общение к геделизации происходит естественнее, чем на эпистемологиче-ском уровне при формализации арифметики.
(D) Инкарнация в программировании – комбинаторные (смешанные) вы-числения представляют в реальном программировании языковую «инкарна-цию» математики. Рассмотрим примеры. Во-первых, рассмотрим вычисле-ние S(K(SI))Kxy, где Kxy=x, Ix=x, Sxyz=xz(yz). Тогда S(K(SI))Kxy = (K(SI)x)(Kx)y = SI(Kx)y = Iy(Kxy) = y(Kxy) = yx. Следует обратить внимание, «данные» x, y и «программы» K, I, S при вычислении не различаются. Во-вторых, подстано-вочная семантика для рекурсии в императивном программировании (вспом-ним, передачу параметров по имени) позволяет легче к ней приобщиться. Пусть (0)=0, (n)=(n+(n 1)). Тогда (3) = (3+(3–1)) = (3+(2+(2–1))) = (3+(2+(1+(1–1)))) = (3+(2+(1+0)))=…=0. В-третьих, семантика текстового выво-да отражает существо логического программирования – программируется перечисление (теории), а не алгоритм. Например, для предиката (n,0+…+n) перечисление можем задать теорией: (0,0), (n,s)=(n+1,s+(n+1)). Вычисли-тель, способный строить дерево вывода, посчитает. Программист через по-рождение доказывает индукцией правильность программы: (0,0) >(1,1) >(2,3)… .
(E) Алгебраические структуры нужны для ООП (или наоборот), свобод-ные алгебры с гомоморфизмом нужны для наследования (или наоборот)..
(F) Внимание(!) развитие конкретной математики вносит в культуру улучшающие (упрощающие) коррективы в «незыблимые» традиции.
Рассмотрим две записи кусочного определения функции. Первая запись использует фигурную скобку Она поддерживается семантикой, записанной КНФ и улучшенной для восприятия применением импликации [27] Тогда конъюнктивная роль фигурной скобки не расходится с той же ее ролью при записи систем уравнений. В императивном программировании кусочному определению соответствует команда выбора if (x=0) > (y:=x) (x<=0) > (y:= x) fi, для которой остановились тоже на КНФ-cемантике [28, с. 136].
Вторая запись использует прямую скобку Она поддерживается ДНФ-семантикой [27] Чтобы не возникала связь с импликацией не следует писать «если», Если хотим различать записи, то здесь следует писать «при». В λ-программировании кусочному определению соответствует условная функция COND [29, с. 123, 145]. Аппликация COND P Q R выбирает Q или R в зависимости от значения предиката P. Это происходит обращением COND TRUE Q R или COND FALSE Q R при следующих реализациях COND, TRUE, FALSE: COND=λp.λq.λr(pqr); TRUE=λx.λy.x; FALSE=λx.λy.y. Семантика λ-программирования подстановочная. Например, COND TRUE Q R > (λp.λq.λr(pqr))(λx.λy.x)QR > (λq.λrλx.λy.x)qrQR > (λq.λrλy.q)rQR > (λq.λr.q)QR > (λr.Q)R > Q. При подстановочной семантике запись с прямой скобкой естественна и правильна. Действительно, в λ-записи: (λx.(COND (x=0) x ( x)) ( 2) > ( ( 2)) > 2 .
Анализ подобных вопросов не праздная деятельность. Исследование обучения на стыке НАМ, АМ, САМ, т.е. на уровне культуры рационального, проясняет их значение и позволяет определится интеллекту в соответствии с культурой. Вторая грамотность не пустой звук. Это культура, движущаяся в онтологию. В.Г.Болтянский полагает, что КНФ-определение психологически проще (?) и, к тому же, является традиционным. Поэтому использовать следует его, а не ДНФ-определение. Подстановочная семантика λ-программирования делает естественным ДНФ-определение. Так как должно формироваться верное «предпонимание» (герменевтики) или (то же самое, но в другой терминологии) «воспоминание» (по Платону) в рамках системной культуры, то сегодня следует использовать ДНФ-определение. Кроме этого подстановочная семантика позволяет правильно интерпретировать распространенную практику равносильных преобразований при использовании подстановок («чистоплюи» утверждают, что меняется мерность системы): Скобочная запись понимается: y+y2=0, где y=(x).
Подведем итог. На уровне конструктивной деятельности (математики) и через соответствующую программистскую деятельность (ООП, функцио-нальное программирование) происходит онтологическое вхождение учаще-гося в концептуальный мир идей, обслуживающих век систем (алгебраиче-ские системы, метаматематика, категории). Учащийся нуждается в инкарна-ции причащением средствами «диагонализации» и «геделизации».
5. ИОС как средство синтезирующей деятельности учащегося
Учить абстрактному, не изучив конкретного – непростительный грех. /З.А.Мелзяк/
В системно-информационный период к интеллекту (3-НТР) на первый план выдвигаются требования в отношении созидания, основанного на син-тезе, экспансионизме, телеологии (в определенном смысле, на априорной синтезирующей индуктивности) и только во вторую очередь задействуются анализ, редукционизм, детерминизм (дедукция). Это связано с повышенным требованиям к системному мышлению.
Ун Об?, являющееся надстройкой над Пр Об?, нацелено на самоорганизацию учащегося. При самоорганизации мышление рассматривается как творчест-во на основе диалогики культур (грубой схемы двух культур – гуманитарной и рациональной – уже не хватает). Для ясности, приведем два примера в от-ношении культуры. Сегодня возможно разрешить неопределенность мало-много. Для этого следует обеспечить преемственность представления учаще-гося: в неравенстве 2n>n он должен обнаружить диагональный метод Канто-ра. Сегодня можно связывать «далекие» понятия: в двойном интеграле обна-ружить фундаментальную обобщенную рекурсию (второй степени, а для универсальной функции сложнее и не надо).
В отношении самоорганизации следует учащегося продвигать в двух направлениях: от знаемого им к познанному родом человеческим; от познан-ному родом к знаемому им. Т.е. следует действовать на широком фронте. Нами обосновывалась целесообразность выбора градиента НАМ → АМ → САМ, захватывающего диалогику в границах рациональной культуры.
Первая возникающая сложность заключается в объемности ПО, т.к. необ-ходимо охватить синтез математики, программирования, информатики. Сложность преодолевается не написанием нового фундаментального курса, а установлением наследования множества существующих профессиональ-ных авторских и учебного курсов. Учебный курс определяет цели. Он состав-лен из пример-проблем, представляющих конструктивную проблему интел-лектуального поиска, которые все вместе охватывают концептуальный каркас курса. Такая организация учебного материала соответствует Ун Об?, занятому проблемой самоорганизации и связанной с ней свободой развития учащего-ся. Пример-проблемы служат источником для обнаружения в профессио-нальных авторских курсах: во-первых, частных задач; во-вторых, методиче-ских материалов. Для этого отношение понятий авторских курсов подчинены связям головных понятий, заданных в учебном курсе (посредством отобра-жения корреспонденции [24]).
Вторая возникающая сложность Ун Об? сложнее первой. Л.Королев [25] утверждает: «Строгость мышления, умение находить алгоритмы решения, используя систематику классической математики, позволит специалисту, обладающему такими способностями, обеспечить свой приоритет в освоении всего того нового, что будет появляться в компьютерной науке, позволит ему творить это новое». Мною выделе-но курсивом за какие качества учащегося надлежит сегодня сражаться в обучении. На повестке «новое», а ему соответствует деятельность в «незнае-мом». Вот и выявилась суть современной несостоятельности Пр Об? – обес-печивает ученика ответами. Ун Об? преодолевает границы Пр Об? – обеспечи-вает на основе ответов формулировку вопросов, являющихся базой самораз-вития учащегося. Пр Об? отвечает за ЦЕЛЕсообразность, определяемое ло-кальным знанием, а Ун Об? – за ЦЕЛОсообразность, определяемое мировоз-зрением. Возникшая сложность в Ун Об?, выступающем как составная часть традиционного учебного процесса, преодолевается средствами ИОС. Ее ин-теллектуальный блок действует в соответствии с априорной и динамической моделями учащегося. Учащийся (взаимодействует со знанием) рассматрива-ется как нелинейная система, которую следует продвинуть к увеличению сложности [7]. В хаосе сложности для учащегося (как условия интеллектуаль-ного прорыва) возникновение порядка специфично и уникально. Отсюда ставка на свободу развития. Она состоит в предоставлении учащемуся учеб-ного материала на основе его выбора собственного пути из множества фор-мируемых системой путей (восхождение по обобщениям к абстрактному, схождение к конкретному), соответствующих целостности учебного курса.
ИОС действует в соответствии с методом обучения ГРОМ. Мастер устро-ен для интегрированного предмета (включая границы составляющих его тео-рий) и поэтому функционирует на разведенных смыслах понятий: ЗНАТЬ (Пр Об?) и ПОНИМАТЬ (Ун Об?). В методе особая роль отводится циклическо-му процессу в отношении части и целого (конкретного и общего). Единицей учебного материала является генетическая цепочка представлений понятия на градиентном пути на уровнях САМ, АМ, НАМ, отыскиваемых в авторских курсах. Формируемые ИОС пути как раз связывают части (авторские курсы) и целое (учебный курс). Для ГРОМ инвариантом является ПОНИМАНИЕ учащегося. Это означает, что единицей учебного действия также рассматри-ваются пути, отвечающие за взаимодействие целого и частей (от целого к части и наоборот). Адаптивность учебного материала добывается исследова-нием на нем отношения толлерантности [24], формируемой системой на основе динамической модели учащегося.
Заключение
Мы должны поумнеть, мы поумнеем. /перифраза, Д Гильберт/
Во-первых, разум способен на большее, чем ему дают шанс достичь в традиционной образовательной системе. Во-вторых, ИТ обеспечивают обстановку сложности, конструктивная культура ее вбирает. Этим в обучении воспользуемся средствами ИОС. Последнее, провозглашенный гуманитариями «переход от мира науки к миру жизни» посредством синергетики достиг науки. И это обнадеживает. Поэтому неразумность – острую болезнь человечества, надеемся преодолеть на рациональном пути, т.к. здесь затребовано и обеспечено средствами ИС интеллектуальное развитие рода.
Считаю важным поблагодарить: Маргаритку Крыльникову-Громыко за так необходимую мотивацию; коллег из Германии G.Wechsung (FSU-Jena) и M.Broy (TU-München), по-прежнему воздействующих на автора; M.S.Veggetti (Uni of Rome, Italy), А.Симакина за обсуждения психологических и эпистемологических вопросов; Н.Васильева за обсуждение математических основ позиции; А.Будака, разделяющего с автором позицию о необходимости и важности в школьном обучении соответствовать реалиям новых горизонтов рациональной культуры. Особая признательность: Л.Королеву и Б.Щедрину, полемика с которыми содействует поиску аргументов в обосновании позиции; М.Мальковскому за сотрудничество в работе; студентам моего семинара “Обучающие системы” (ВМК МГУ), которые облегчают научный поиск.
Спасибо за дружеское участие О.Иванову, который помог на трудной стадии работы над статьей, когда она никак не завершалась.
Литература
1. Громыко В.И.,…Обучающие системы «компьютерного» образования в высшей школе. //Программные системы и инструменты. Труды ф-та ВМК. №7. М.: МГУ, 2005.
2. Громыко В.И. Эволюция разума к ноосфере (роль информатики). //Синергетика. Труды семинара. Том 7. М.: МГУ, 2004.
3. Громыко В.И. Самоорганизация рациональной культуры (информатика как педагогическая задача). //Синергетика. Труды семинара. Том 4. М.: МГУ, 2001.
4. Громыко В.И. Обучение информатике как задача синергетики. //Синергетика. Труды семинара. Том 1. М.: МГУ, 1998.
5. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996.
6. Г.-Г.Гадамер. Актуальность прекрасного. М.: Искусство, 1991.
7. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: УРСС, 2003.
8. Г.Биркгоф, Т.Барти. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976.
9. М. Брой. Информатика. Основополагающее введение. Ч.-1,2,3,4. М.: Диалог-МИФИ, 1996–98.
10. М. Брой, Б. Румпе. Введение в информатику: сборник задач. Структурированное собрание задач с образцами решений. М.: Научный Мир, Диалог-МИФИ, 2000.
11. Р. Грэхем, Д. Kнут, О. Паташник. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
12. Бениаминов Е.М., Ефимова Е.А. Элементы универсальной алгебры и ее приложений в информатике. М.: Научный Мир, 2004.
13. Босс В. Лекции по математике. Т.1 Анализ. Т.2 Дифференциальные уравнения. Т.3 Линейная алгебра. Т.4 Вероятность, информация, статистика. Т.5 Функциональный анализ. М.: УРСС, 2004–05.
14. Непейвода Н.Н. Прикладная логика. Новосибирск: НГУ, 2000.
15. Непейвода Н.Н. Какая математика нужна информатикам? //Открытые системы. №9. 2005.
16. Вольфенгаген В.Э. Конструкции языков программирования. М.: Центр Юр Инфо Р, 2001.
17. Вольфенгаген В.Э. Комбинаторная логика в программирования. М.: Центр Юр Инфо Р, 2003.
18. Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.
19. Арнольд В.И. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2002.
20. Начала Евклида. Классики естествознания. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1950.
21. Д. Гильберт. Основания геометрии. Классики естествознания. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948.
22. Д. Гильберт, П. Бернайс. Основания математики. Т1 Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. Т2 Теория доказательств. М.: Наука, 1982.
23. Будак А.Б., Щедрин Б.М. Элементарная математика. М. МГУ: МАКС Пресс, 2005.
24. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.
25. Королев Л.Н. «Компьютерное» образование, состояние дел и перспективы. //Вестник Московского университета. Серия 15, ВМиК, 1992, №2.
26. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Библиотека «Математика». Т.4. Ижевск: R&C Dynamics, 1999.
27. В.Г.Болтянский. «Фигурная скобка в определении модуля». //Математика в школе. №6, стр. 47–48.
28. Д.Грис. Наука программирования. Мир-84.
29. A.Филд, П.Харрисон. Функциональное программирование. Мир-93.
Наткнулся на любопытную задачу, цитирую:
Представим себе Сэмюэльса Гэмджи, мирно прозябающего на своем земельном участке квадратной формы со сторонами, равными одной условной единице измерения длины каждая. Вдруг, в один прекрасный день, Сэм узнает, что мерзкий Сарумян проложил под его участком телефонную линию, по которой связывается со своим осведомителем в хоббитской деревне. Естессно, Сэм сразу же докладывает об этом Гэндальфу и, как настоящий трудяга, говорит, что связь эту обрежет. «Вот я ща как вскопаю тут весь периметр, и Сарумян не дозвонится ни в жизнь» – говорит Сэм. Потом добавляет: «А вообще, я лучше только три стороны вскопаю, все равно ведь обрежу, да?» «Ну, конечно, обрежешь, Сэм," – говорит добрым голосом Гэндальф – «но есть способ короче.» И тут Сэма ушел в ступор. Что за способ-то?
NB: Телефонный провод может пересекать и очень малую часть участка, нужно окопаться так, чтоб не было возможности пересечь его прямой линией, не пересекая вскопанные полосы.
Наткнулся на ссылку:
рекомендуется почитать, много интересного ;)
http://ifets.ieee.org/russian/news.html
Чуть-чуть текста:
Содержание:
1.1 Метод ГРОМ 2
1.2 Предметная область 3
1.3 Цели 3
1.4 Адаптивность в современных обучающих системах 3
1.5 Текущие достижения в рамках семинара 4
1.6 Постановка задачи 5
1.7 Перспективы 5
1.8 Список литературы 6
1.1 Метод ГРОМ.
Метод ГРОМ является развитием педагогического метода РО (развивающее обучение) по В. В. Давыдову. Его позиция: в предмете – нацеленность на теорию (мы ее разделяем); в учащемся – нацеленность на эфемерную творческую составляющую (мы ее уточняем). Главное, РО отказывается от профессионально-директивного обучения в пользу теоретического, которое влечет как повышенные требования к учащемуся, так ряд требований к материалу, основным из которых является адаптивность (персонификация).
Важным фактором при адаптации предметной области является интеллектуальное состояние учащегося. Понятия, которые по логике предмета или на взгляд автора курса являются равноценными, с точки зрения учащегося могут (и будут) отличаться по сложности восприятия, и наоборот. Частично на это влияет объективная сложность материала, частично – незнание понятий упоминаемых в материале. Таким образом, в системе выделяются два различных (ортогональных) метода оценки материала по отношению к учащимся. Это близость и сложность. Близость материала это количественная, и, соответственно, в достаточной степени объективная оценка материала, измеряемая процентом известных учащемуся понятий из числа встречающихся в материале. Сложность более субъективная оценка, в большей степени зависящая от мнения человека помещающего материал в систему. На использовании этих двух оценок, с возможностью их последующего уточнения, основывается адаптация предметной области в системе FLINT. Важным, для характеризации материала по близости и сложности, являются априорные классы учащихся.
Особенность современного состояния рациональной культуры состоит в объединяющем эффекте новой возможности, связанной с интеллектуальным конструированием как проявления конструктивности.
Из-за всеобщности информационного образования базовое обучение информатике по-прежнему является открытым вопросом, но приобрело остроту. Оно должно обеспечить знание, на основе которых возможно продвижение в использовании систем НИТ на затребованном временем уровне: представление профессионального знания для его исследования и использования другими.
Понятие ПОНИМАНИЕ вводится из-за представления об учащемся как субъекте по трансформации собственных интеллектуальных структур в соответствии с его знанием. На этом основании полагаем, что в ТО учащийся видится:
во-первых, как элемент-наследник познающего вида (человечества);
во-вторых, в соответствии с его потерями в генетически обеспеченной способности понимания на пути вживания в социальную организацию общества.
Синтезирующий характер современного знания обеспечивает новое качество взаимоотношения учащегося со знанием:
во-первых, его обширность не позволяет иметь ресурс на “взросление” в теоретическом плане (только ранний теоретический охват позволяет надеяться “объять необъятное”);
во-вторых, для учащегося практическим планом становится фундаментальная задача познания – прояснение его собственного существования в условиях постоянного растущего понимания неполноты знания (для всех и для него) при замечательном и все растущим знанием (т.е. должно быть естественным – пребывать в состоянии незавершенности).
var dbclick = "page";